home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
- Inleiding tot ALGebra EDitor John Henckel, henckel@vnet.ibm.com
- ---------------------------- vertaling: "Algedned.doc"
- G. Leeten Tel: (32)(0)16621249
- Rozenveldstraat, 40
- B 3210 Linden
-
- Copyright (c) 1994,1996 John Henckel
- Toelating om deze software en zijn documentatie te gebruiken, te kopiëren, te
- wijzigen, te verdelen, te verkopen, te vertalen voor elk doel is hier
- gegarandeerd zonder kosten, indien hoger vermelde "copyright" verschijnt in
- elke kopie en dat beide deze copyright nota en deze toelating aanwezig zijn in
- de bijgevoegde documentatie. Alle hierin gesloten programma's worden zonder
- enkele garantie geleverd zoals ze zijn met of zonder fouten: "as is". De
- garanties op verhandelbaarheid en geschiktheid voor speciaal gebruik zijn
- opzettelijk uitgesloten en buiten de verantwoordelijkheid van de schrijver.
-
- Deze teksten zijn naar best vermogen in overeenstemming met de "Woordenlijst
- van de Nederlandse Taal (1954)" en gebaseerd op "van Dale, Groot Woordenboek
- der Nederlandse Taal", 10de druk (1976).
-
- Hoe beginnen?
- ------------
- Ik ga er van uit dat alged33.zip afgeladen is op de PC en ont-"zip"t is. Nu
- moet je volgende bestanden hebben: (de originelen in het Engels)
-
- setup.bat <--- hiermee kan je de taal en video mode wijzigen
- alged.exe <--- het programma
- alged.ae <--- een voorbeeld als gegevens bestand
- alged.1st <--- start opties bestand
- alged.doc <--- inleiding (dit bestand)
- algedeng.hlp <--- online help
- algedeng.hlq <--- online help (graphics mode)
- algedeng.mnu <--- menu, text and keyboard definitions
- *.bgi <--- verschillende scherm drijvers (Borland)
- algedsrc.zip <--- Bron code
- file_id.diz <--- short description
- file_ned.diz <--- korte beschrijving
- vgaprtsc.* <--- TSR print screen programma voor 16 kleuren VGA
- *.bgi <--- verschillende scherm drivers (Borland)
-
- algedNED.hlp <--- helptekst tijdens gebruik (F1)
- algedNED.hlq <--- helptekst tijdens grafiek (F1)
- algedNED.doc <--- inleiding (dit bestand)
- algedNED.mnu <--- menu, tekst en klavier definities
- algedNED.ae <--- een voorbeeld als gegevens bestand
-
- Dit kan als basis gebruikt worden voor de personalisatie van het menu. Het is
- opzettelijk verschillend gemaakt met het originele menu om goed de
- mogelijkheden en effecten aan te tonen. Dit wil niet zeggen dat het beter of
- slechter is. Het is anders.
- Als alternatief kan je ook de SETUP.BAT draaien, tik in: setup
-
- Voordat ALGED gestart wordt, mag de video mode gewijzigd worden. Het programma
- verandert de videomode niet, het neemt de actieve mode over. Dit kan gedaan
- worden met het DOS commando
- MODE co80,43
- of iets dergelijks zie (MODE /?). Opmerking: ANSI.SYS kan nodig zijn indien
- het aantal lijnen gewijzigd wordt.
-
- Bij het starten van ALGED mogen een of meer gegevensbestanden meegegeven
- worden. Deze bestanden zijn tekst bestanden die met een tekst "editor"
- aangemaakt kunnen worden. Start alged met het voorbeeld bestand ALGEDNED.AE
-
- ALGED NED ALGEDNED
-
- of
-
- ALGED NED ALGEDNED SVGA
-
- Nu zou je een scherm moeten zien met een menu van boven en enkele formules in
- het midden.
- Het eerste dat geleerd moet worden is om enige HELP te krijgen. Druk F1.
- Het eerste deel geeft een korte inleiding voor het gebruik van de muis.
- Dan volgt een beschrijving van elk menu veld. Merk op dat ieder veld een
- "sneltoets" heeft.
- In deze inleiding gaan we er van uit dat er een muis met het systeem verbonden
- is.
- Indien dit niet het geval is kunnen [End] [PageDown] en [PageUp] toetsen
- gebruikt worden om delen van een formule te kiezen.
-
- Ik weet dat je allemaal van beelden houd, daarom beginnen we met enkele mooie
- grafische functies. De eerste formule is...
-
- 2 2
- cos(x*2) *cos(y*2) + r*0.2
-
- Wat is dit voor een functie? Hoe ziet ze er uit? Een grafiek kan een snelle
- hulp zijn om de eigenschappen van een functie te begrijpen.
- Klik op "Grafiek" of druk 'g' om de grafiek te zien in twee dimensies. Je ziet
- een cosinus golf. Dit is een doorsnede van de functie voor x-waarden (x is
- gekozen omdat het de eerste veranderlijke van de functie is).
-
- De curve is nogal hoekig, druk [Home] tweemaal om meer punten op de curve te
- nemen. Dit tekent de curve langzamer maar vloeiender. Druk [End] om punten te
- verwijderen.
- Je kan [Ins] en [Del] drukken om te vergroten of te verkleinen. Druk [PgUp] en
- [PgDn] om de functie uit te rekken. Je kan over het beeld lopen (pan) met de
- pijlen. Met 'd' te drukken keren we terug naar het eerste zicht.
-
- 3D grafieken
- ------------
-
- Nu een 3-dimensionale grafiek. Druk 'g' opnieuw. Je mag [Home] of [End]
- drukken om een goed beeld te krijgen. Druk [Ins] één maal om dichter bij te
- komen. Je ziet dat deze functie lijkt op vele bergen op een rechte lijn.
- Op een kleuren scherm druk je 'c'. Druk 'f' om de grafiek op te vullen.
- Nogmaals 'f' geeft een gedeeltelijke opvulling. Druk 'c' opnieuw om volgens
- de helling van de funktie te kleuren (zie de optie ?r hiervoor).
-
- Indien je SVGA mode met 256 kleuren gebruikt dan volgen hier nog enkele
- mogelijkheden voor jou.
- Druk 'x' om een 240 kleur regenboog of 240 grijstinten te zien. Met'-' en '='
- kan je door de palet lopen. Druk meerdere malen om sneller te doorlopen. 'z'
- wil de palet zodanig aanpassen dat alle kleuren voor de funktie gebruikt worden
- afhankelijk van het bereik van de fnktie. Om schaduw op een 3D grafiek te
- plaatsen ga naar 3D mode en druk 'dfxxcc' gevolgd door [home] om punten toe te
- voegen.
-
- Wat zou er gebeuren als je deze functie op een bol plaatst? Druk 'a' om in
- poolcoördinaten over te gaan. [Ins] brengt je dichter bij. De merktekens op
- de assen zijn eenheden. In polaire voorstelling, geeft de x veranderlijke de
- breedte, en de y bepaalt de lengte. De functie waarde is de straal. Wat
- betekent de andere veranderlijke 'r'? Het is een vrije veranderlijke, initiaal
- gelijk aan nul, (zie scherm links boven). Je kan de waarde van 'r' wijzigen
- door 'w' en '2' te drukken. Wat gebeurt er als r gelijk is aan 3? aan -13?
-
- Er zijn nog andere toetsen actief in grafische mode. Zie de ingesloten help
- (F1) om een volledige lijst te hebben. (of kijk in de bron code in algraph.c).
-
- Parametrische grafieken
- -----------------------
-
- Druk Esc om terug naar het hoofd menu te keren. Nu een grafiek van een
- parameterfunctie (parameterkromme). De volgende formule in het bestand is
-
- cos(2*t) + sin(3*t + 0.2*u)
-
- Deze formule beschrijft de geluidsgolf van een perfecte 5de harmoniek in de
- muziek. Druk de pijl-beneden of klik op het eerste '+' om de formule te kiezen,
- en druk 'g' om de grafiek te hebben. Je mag 'q' en '1' drukken om de
- verschillende fases te zien.
-
- Wat gebeurt er als we de twee componenten van deze golf op de x- en y-assen
- afbeelden?
- Druk Esc om terug naar het hoofdmenu te keren. Klik op de sinus functie met de
- linker muisknop en de cosinus functie met de rechter muisknop.
- (Indien je geen muis hebt druk dan [End], '.', [PgUp], [PgDn]).
- De cosinus functie is naar de "sleutel" aan de onderzijde van het scherm
- gekopieerd. De "sleutel" wordt in 2D grafieken als de x-as functie gebruikt.
- (In 3D wordt hij verwaarloosd).
- Druk 'g' om de grafiek te zien, je moet een visvorm zien. (Indien je geen
- Lissayou figuur ziet druk dan 'd' of 'a'). Verander nu de fase van de sinus
- en zie het effect.
-
- Formules inbrengen
- ------------------
-
- Druk [Esc] om naar het hoofdmenu terug te keren. Om een formule in te brengen
- in ALGED, druk 'enter' of 'k'. Tik een formule, bij voorbeeld: x + sin(y)
- gevold door F6 (of CTRL-Z) en druk enter. De formule komt in het benedendeel
- van het scherm, de "sleutel". Om hem naar de werkzone te brengen, klik "InsKey"
- of druk 'Ins' en 'Enter.'
-
- Volgende toetsen kunnen handig zijn tijdens het invoeren van formules:
- pijltoetsen = teken overschrijven of wissen
- Insert = zet insert mode op of af
- Delete = wis een teken
-
- Alged formules worden in platte tekst gered zodat iedere tekst editor gebruikt
- kan worden om toe te voegen of ze te wijzigen.
-
- Vergelijkingen oplossen
- -----------------------
-
- Laat ons beginnen met het volgende voorbeeld.
-
- x*(5 + 2*x) - 2
- ----------------- - 2*x + 1 = 13
- 3 + x
-
- (Het ziet er mooier uit indien 8-bit ASCII wordt gebruikt.) Om dit op te lossen
- moeten we het linker lid op een gemeenschappelijke noemer brengen.
- Je kunt ofwel op "geMene noeMer" klikken of de "sneltoets" 'm' indrukken.
- Het resultaat is...
-
- x*(5 + 2*x) - 2 - 2*x*(3 + x) + 1*(3 + x)
- ------------------------------------------- = 13
- 3 + x
-
- Om het probleem af te werken:
- 1. druk 'd' is "Distributief" of klik dit in het bovenmenu
- 2. druk spatie is "vereenvoudig" of klik het
- 3. klik op "[=links" of druk '[' om de 1 naar het ander lid over te brengen
- 4. klik op "]=rechts" of druk ']' om de 3 over te brengen
- 5. klik op "vereenvoudig" of druk spatie. Dit moet x = -2.92307692307692 geven
- 6. klik op "Integer" of druk 'i' om dit resultaat in breukvorm te zien.
- Het antwoord moet nu -38/13 zijn.
-
- Je vindt dit misschien een hoop werk enkel om een vergelijking in x op te
- lossen en dan heb je gelijk. Mathematica of Mathcad doen dit in een stap.
- Maar Alged is opzettelijk zo geschreven. In plaats van een lange lijst
- van ingewikkelde transformaties voorziet Alged in een korte lijst van
- eenvoudige commando's en een interface met een hoog niveau van interactiviteit.
- Dit leidt tot "spelen" met de formules op een creatieve manier.
-
- Het volgend probleem bestaat er in de doorsnede van een parabool en een cirkel
- te vinden. In het algemeen vraagt de oplossing hiervan om de wortels te vinden
- van een 4de graads veelterm. Dit kan gedaan worden (theoretisch), maar in deze
- inleiding gaan we het probleem vereenvoudigen door 2 wortels te beperken.
-
- Gegeven: een cirkel rond de oorsprong met straal r, en
- een parabool die de cirkel snijdt in (r,0) en (-r,0),
- Gevraagd: waar liggen de andere snijpunten?
-
- Oplossing:
- De vergelijking van de cirkel is:
-
- 2 2 2
- (1) x + y = r
-
- De algemene vorm van een parabool wordt gegeven door
-
- / 2 2\
- (2) y = a*\r - x /
-
- Om dit op te lossen kunnen we y elimineren uit (1) door substitutie:
-
- 1. kopieer (2) naar de "sleutel" door op = te klikken met de rechtse
- muisknop of selecteer ze en druk '.'.
- 2. selecteer (1) door klik op = met de linker muisknop.
- 3. klik op "sUbstitUte" of druk 'u'.
-
- Trek r^2 af van beide leden van (1) en vereenvoudig als volgt
- 1. kopieer r^2 naar de Key door juist BOVEN de r te klikken met de rechter
- muisknop. Zonder muis: pgdn, punt, pgup.
- 2. klik op "- sleutel" of druk '-'.
- 3. klik op "^N Expand" of druk 'n'.
- 4. klik op "Distribute" of druk 'd'.
- 5. klik op "vereenvoudig" of druk ' '.
-
- Nu hebben we een vierde graads veelterm. We kennen 2 van de wortels: r, -r. We
- kunnen de veelterm vereenvoudigen door te delen door een tweeterm: (r+x)*(r-x)
- 1. kopieer (r^2 - x^2) naar de "sleutel" door op - te klikken in (2) met de
- rechter muis knop. Klavier: down, pgdn, pgdn, punt, up.
- 2. klik op "/ sleutel" of druk '/'.
- 3. selecteer het linker lid van (1). Gebruik de linker muis knop , of druk
- end.
- 4. kopieer 'x' naar de "sleutel". Klik op een 'x' met de rechter muis knop
- of type 'k' 'x' [F6] [Enter].
- We kiezen zo 'x' als basis voor de deling. In dit geval willen we 2
- veeltermen delen geordend naar de onbekende 'x'. We konden in dit geval ook
- delen met 'r' als basis en het resultaat zou hetzelfde zijn.
- 5. klik op "\veelt del" of druk '\'.
-
- Nu moet je het quotiënt plus de breukrest zien. In dit geval wordt de rest
- nul nadat we de distributiviteit hebben toegepast en vereenvoudigd.
- 1. klik op "Distribute" of druk 'd'.
- 2. klik op "vereenvoudig" of druk ' '.
-
- Daar het quotiënt van de 2de graad is kunnen we het oplossen met de kwadratische
- vergelijking.
- 1. klik op "ontbind 2^" of druk '2'.
- 2. klik op "vereenvoudig" of druk '.
- 3. Druk hoofdletter 'D' om iedere factor te verdelen. (als je 'd' drukt, wordt de
- ontbinding in factoren ongedaan gemaakt door uit te werken).
- 4. klik op "Bereken" of druk 'b'.
- 5. klik op "vereenvoudig" of druk ' '.
-
- Nu zien we de wortels van de vergelijking.
-
- 0.5
- / 2 2 \
- \a *r - 1/
- x = ± ----------------
- a
-
- De volgende kleine formule toont enkele berekeningen met complexe getallen.
- Selecteer ze en druk 'b' om te berekenen. Beide leden moeten gelijk zijn.
-
- De rest van het bestand alged.ae bevat enkele probleempjes waar je zelf mee
- kan spelen. Het laatste stelsel van vergelijkingen is de basis voor een ander
- programma dat ik schreef. Het heet Impact (beschikbaar in /SimTel/msdos
- /simulatn als ik me niet vergis). Dit programma worstelde verschillende uren
- met dit stelsel, wat me inspireerde om Alged te schrijven.
-
- Indien je plezier beleeft aan Alged of suggesties hebt, stuur me dan post: 'n
- email. Ik wil geen geld, maar ik ontvang graag post.
-
- "Maar God, die rijk is aan erbarming, heeft wegens de grote liefde waarmee Hij
- ons heeft liefgehad, ons met Christus ten leven gewekt, hoewel wij dood waren
- door onze zonden; aan zijn genade dankt gij uw redding. En Hij heeft ons samen
- met Hem doen opstaan en zetelen in de hemelen, in Christus Jezus, om de
- naderbij komende eeuwen de overgrote rijkdom van zijn genade te tonen door zijn
- goedheid jegens ons in Christus Jezus.
- Ja, aan die genade dankt gij uw heil, door het geloof; niet aan uzelf, Gods
- gave is het; niet aan uw prestaties, niemand mag zich verhovaardigen. Gods werk
- zijn wij, geschapen in Christus Jezus, om in ons leven de goede daden te
- realiseren die God voor ons al bereid heeft."
- Efeziërs 2.4-10 Katholieke Bijbel Stichting (1978)
-
- John Henckel henckel@vnet.ibm.com
- ---------------------
- Hier enkele voorbeelden van versie 2 van Alged. Je kan ze in een .ae bestand
- plaatsen en uittesten.
-
- (Druk naar-beneden-pijl en kies volgende formule.)
-
- 3
- / 2 \
- |x - ---|
- \ 3 /
-
- 1. druk 'n' expand gehele exponenten.
- 2. druk 'd' Distribute (distributiviteit).
- 3. druk spatie om te vereenvoudigen.
-
- Druk naar-beneden-pijl en kies volgende formule.
-
- / 2 \ 3 2
- \x - 2/*(x + 1) = x + x - 2*x - 2
-
- Om dit op te lossen gaan we het rechter lid ontbinden.
- 1. klik de LINKSE knop op de laatste '-' in de formule. Het rechter lid wordt
- gekozen.
- 2. klik de RECHTSE knop op gelijk welke 'x'.
- 3. druk 'f' om de veelterm in factoren te ontbinden.
- 4. druk spatie om te vereenvoudigen.
-
- Druk naar-beneden-pijl om de volgende formule te kiezen.
-
- 2 (2*x)
- x *a
- a
- ------------
- a
- --------------
- (x + 1)
- a
-
- Hier zien we vele exponenten bij gelijksoortige machten. (Merk op: de
- bovenste teller is a^x^2 * a^(2*x), en niet a^(x^2 * a^(2*x)), daar er geen
- haakjes zijn.) Om dit op te lossen moeten we alle exponenten combineren.
-
- 1. druk 'j' of klik "exp Join" om de exponenten samen te voegen.
- 2. druk spatie of klik "vereenvoudig" om te vereenvoudigen.
-
- Nu gaan we een eind vooruit naar de stelsels van vergelijkingen.
- Druk naar-beneden-pijl tot de volgende twee formules boven aan het scherm
- staan.
-
- 3
- y = x
-
- y = 4*x - 3
-
- Dit stelsel kan op verschillende manieren opgelost worden.
- We kunnen een vergelijking in de andere vervangen (substitutie) of ervan
- aftrekken.
- We nemen aftrekken. De eerste vergelijking is al gekozen; we noemen dit het "veld".
- 1. klik de RECHTSE muis knop op '=' in de tweede vergelijking. Deze is nu
- beneden op het scherm overgenomen; dit is de "sleutel".
- 2. druk '-' of klik "- sleutel" om de "sleutel" af te trekken.
- 3. druk spatie of klik "vereenvoudig" om te vereenvoudigen.
- 4. klik de LINKSE muis knop op het rechter lid van de eerste vergelijking
- (je moet op de '+' klikken).
- 5. klik de RECHTSE muis knop op een 'x'
- 6. druk 'o' of klik "Ontbind in factoren" om te ontbinden in factoren.
- 7. klik de LINKSE knop op de tweede graads factor (het laatste '-' teken)
- 8. druk '2' of klik "ontbind 2^" om deze 2de graads drieterm te
- ontbinden.
-
- Hopelijk heb je nu het volgende....
-
- / 0.5 \ / 0.5 \
- | 13 + 1 | | -1*13 + 1 |
- 0 = (x - 1)*|x + -----------|*|x + --------------|
- \ 2 / \ 2 /
-
- Om deze factoren in afzonderlijke vergelijkingen te splitsen, kan je...
- 1. kopieer (x - 1) naar de "sleutel"
- 2. "veld" 0
- 3. druk '=' (of klik "= sleutel") om "veld" '=' naar de "sleutel" te brengen.
- 4. druk [Ins] om de "sleutel" als nieuwe formule toe te voegen in de lijst.
- 5. herhaal 1...4 voor de andere factoren.
-
- Druk naar-beneden-pijl tot de laatste 3 vergelijkingen boven aan het scherm
- staan.
-
- 5*x + y + z = a
-
- x + 2*y + z = b
-
- x + y + 3*z = c
-
- (end of list)
-
- Om deze op te lossen
- 1. kopieer (5*x + y) van de 1ste vergelijking naar de "sleutel"
- 2. druk '-' of klik "- sleutel" om de "sleutel" af te trekken
- 3. druk spatie of klik "vereenvoudig" om te vereenvoudigen
-
- Vervang nu de eerste in de tweede vergelijking...
- 4. kopieer (z = a - 5*x - y) naar de "sleutel"
- 5. "veld" de tweede vergelijking
- 6. druk 'u' of klik "sUbstitUte" om te vervangen
- 7. druk spatie of klik "vereenvoudig" om te vereenvoudigen
- 8. kopieer (a - 4*x) naar de "sleutel"
- 9. druk '-' of "- sleutel" om de "sleutel" af te trekken
- 10. druk spatie of klik "vereenvoudig" om te vereenvoudigen
-
- Het vervolg van de oplossing is voor de student gelaten :-) Je moet de eerste
- en tweede vergelijking vervangen in de laatste. Dan kun je naar x oplossen en
- terug vervangen.
-
- Opmerking: In versie 3 is dit misschien vereenvoudigd. Zoek het uit als
- oefening.
-
- Veel Plezier, Guido Leeten
-